* Boîtes de conserve et conformité

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Tous les résultats seront arrondis à \(10^{−3}\).

Une usine métallurgique fabrique des boîtes de conserve pour des entreprises spécialisées dans le conditionnement industriel de légumes. La probabilité qu’une boîte prélevée au hasard soit non conforme est égale à \(0{,}04\).

Un lot de \(20\) boîtes choisies au hasard est livré à une entreprise spécialisée dans le conditionnement des légumes. Le nombre de boîtes fabriquées par cette usine métallurgique est assez important pour pouvoir assimiler un tel prélèvement à un tirage avec remise de \(20\) boîtes. La variable aléatoire \(X\) désigne le nombre de boîtes non conformes dans un tel lot.

1. Justifier que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer la probabilité que le lot ne contienne aucune boîte non conforme.
3. Interpréter l’événement \(\{X=4\}\) dans le contexte de l’exercice et calculer sa probabilité.
4. Calculer la probabilité que le lot contienne au moins une boîte non conforme.
5. Calculer l’espérance \(E(X)\) de la variable aléatoire \(X\) et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.